📘 微积分·13基本公式 Calculus 13 Core Formulas
🔢 极限 · 导数 · 积分 · 微分中值
📌 13个基本公式 必记
1. 极限 · 两个重要极限
limx→0 sin x / x = 1
limx→∞ (1+1/x)x = e
极限计算的基石，用于三角函数与指数型极限。
2. 导数定义
f'(x) = limΔx→0 [f(x+Δx)-f(x)] / Δx
导数的本质是变化率，微分的核心。
3. 幂函数导数
(xn)' = n·xn-1
n为任意实数，多项式求导基础。
4. 指数函数导数
(ex)' = ex , (ax)' = ax ln a
指数函数导数不变，a>0且a≠1。
5. 对数函数导数
(ln x)' = 1/x , (logax)' = 1/(x ln a)
自然对数导数简洁，常用。
6. 三角函数导数
(sin x)' = cos x , (cos x)' = - sin x
正弦余弦导数互为相反。
7. 乘积法则
(u·v)' = u'·v + u·v'
两个函数乘积的导数。
8. 商法则
(u/v)' = (u'v - uv') / v2
分母不为零，分式求导。
9. 链式法则
dy/dx = dy/du · du/dx
复合函数求导核心，层层求导。
10. 牛顿-莱布尼茨公式
∫ab f(x) dx = F(b)-F(a)
定积分与不定积分的桥梁，F为原函数。
11. 不定积分 · 幂函数
∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C (n≠-1)
幂函数积分逆运算。
12. 基本积分 · 指数/三角
∫ ex dx = ex + C ; ∫ sin x dx = -cos x + C
指数与正弦积分公式。
13. 微分中值定理 (拉格朗日)
f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a) , ξ∈(a,b)
沟通函数值与导数的桥梁，理论基石。
📖 公式详解与背景
极限是微积分的基础，导数描述变化率，积分则求累积。13个公式覆盖了初学微积分最核心的运算规则。
✔ 极限公式(1) 用于处理0/0型与1^∞型极限；
✔ 导数公式(2-9) 包含基本初等函数求导及四则运算、复合；
✔ 积分公式(10-12) 展示定积分与不定积分基本形式；
✔ 中值定理(13) 是微分学应用的重要理论。
💡 建议：先理解极限与导数定义，再记忆积分公式，最后用中值定理串联。
❓ 常见问题 Q&A
Q1：为什么 sin x / x 的极限是1？
利用单位圆或洛必达法则。x→0时，sin x 与 x 是等价无穷小，几何上弧长与弦长趋近一致。
Q2：链式法则什么时候用？
只要遇到复合函数，如 sin(2x)、e^(x²) 等，就需要由外向内逐层求导并相乘。
Q3：牛顿-莱布尼茨公式的意义？
将定积分计算转化为求原函数增量，极大简化计算，是微积分基本定理。
Q4：积分常数C为什么重要？
不定积分表示一族函数，C代表任意常数，求导后消失，但积分时必须添加。
Q5：拉格朗日中值定理的几何意义？
在区间 [a,b] 上至少存在一点 ξ，该点切线斜率等于端点连线斜率。
🧮 公式速查（补充）
(tan x)' = sec²x
∫ cos x dx = sin x + C
∫ 1/x dx = ln|x|+C
∫ a^x dx = a^x/ln a +C